Wöhlerkurve
Hintergründe, Theorie und Anwendung

Wöhlerlinie

Die Wöhlerlinie (auch als Wöhlerkurve bzw. Wöhlerdiagramm, im Englischen meist als S/N-curve bezeichnet) beschreibt die Abhängigkeit der Anzahl der ertragbaren Schwingspiele eines Materials von der aufgebrachten Spannungsamplitude. Die Darstellung erfolgt meist doppellogarithmisch.

Die Daten für die Erstellung der Wöhlerlinie werden meist Versuchen entnommen. Eine weitere gebräuchliche Variante sind synthetische Wöhlerlinien, die Richtlinien und Normen entnommen werden können.

Die Wöhlerkurve wird verwendet, um das Verhalten von Werkstoffen unter Ermüdungslasten zu charakterisieren. Besonders im Maschinenbau sowie im Bauwesen stellen die Wöhlerlinien ein wichtiges Hilfsmittel für Dauerfestigkeits- und Betriebsfestigkeitsnachweise dar.

Das Wöhlerdiagramm geht auf den deutschen Eisenbahningenieur August Wöhler zurück, der im 19. Jahrhundert aufgrund sich häufender Eisenbahnunfälle das Materialverhalten unter Dauerschwingbelastung untersuchte.

Konstruktion der Wöhlerkurve

Im Wöhlerversuch werden Probenstücke meist mit sinusförmiger Beanspruchung gleichbleibender Amplitude und Mittelspannung (Einstufenversuch) belastet. Der Versuch ist beendet, wenn der Schwingbruch eintritt oder wenn eine vorher festgelegte Schwingspielzahl erreicht worden ist (Durchläufer). Ein Schwingspiel wird durch folgende Parameter charakterisiert:

  • Oberspannung (So)
  • Unterspannung (Su)
  • Mittelspannung (Sm = (So + Su)/2)
  • Spannungsamplitude (Sa = So – Sm)
  • Spannungsschwingbreite (ΔS = 2·Sa)
  • Spannungsverhältnis (R = Su / So)
Definition und Kennwerte eines einzelnen Schwingspiels - Abbildung aus dem Buch "Betriebsfestigkeit" von Haibach

Kennwerte eines Schwingspiels, Quelle: Haibach: Betriebsfestigkeit [1]

Die Spannungsamplituden werden über den erreichten Schwingspielzahlen der einzelnen Versuche im Wöhlerdiagramm angetragen. Durch mehrere Versuchsreihen auf unterschiedlichen Spannungsniveaus (Variation der Mittelspannung oder des Spannungsverhältnisses) werden Punktewolken generiert, die halblogarithmisch (Schwingspielzahl logarithmisch, Spannungsamplituden linear) oder doppellogarithmisch dargestellt werden. Die doppellogarithmische Darstellung hat die größte Verbreitung erlangt. Vorteilhaft an dieser Darstellung ist die sich ergebende Gerade im Zeitfestigkeitsbereich.

Auf der folgenden Abbildung sind Versuchsergebnisse halblogarithmisch dargestellt. Zu erkennen ist auch die Abhängigkeit der Position der Wöhlerkurve von der Überlebenswahrscheinlichkeit. Die Überlebenswahrscheinlichkeit beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil bzw. die Probe bei der auftretenden Schwingungsamplitude und Schwingspielzahl nicht versagt.

halblogarithmische Darstellung von Wöhlerkurven mit unterschiedlichen Überlebenswahrscheinlichkeiten - Abbildung aus dem Buch "Betriebsfestigkeit" von Haibach

Wöhlerdiagramm, halblogarithmisch, Quelle: Haibach: Betriebsfestigkeit [1]

Je nach Überlebenswahrscheinlichkeit wird auf jedem Lastniveau eine Schwingspielzahl berechnet. Die Wöhlerkurve wird durch eine Regression durch diese Punkte erzeugt. Wöhlerkurven werden meist für eine Überlebenswahrscheinlichkeit (PÜ) von 50 % dargestellt, wobei auch andere Überlebenswahrscheinlichkeiten gebräuchlich sind.

Qualitatives Erscheinungsbild bei metallischen Werkstoffen

Für metallische Werkstoffe ergibt sich bei doppellogarithmischer Auftragung qualitativ folgendes Erscheinungsbild der Wöhlerlinie. Es können die folgenden Bereiche abgegrenzt werden:

  • Kurzzeitfestigkeit (das Bauteil erträgt aufgrund der hohen Schwingbeanspruchung relativ wenige Schwingspiele)
  • Zeitfestigkeit (bei Beanspruchungen in diesem Bereich kann ein Bauteil betriebsfest ausgelegt werden. Es treten Risse auf, die im Verlauf der Nutzung wachsen und schließlich zum Versagen führen.)
  • Dauerfestigkeit (unterhalb der Dauerfestigkeit werden unendlich viele Lastwechsel ertragen, bei Materialien mit kubisch flächenzentriertem Gitter z.B. Aluminium fällt die Linie nach dem Abknickpunkt etwas ab (hoher Wöhlerexponent))

Der Verlauf der Linie im Zeitfestigkeitsbereich wird durch den Wöhlerexponenten k charakterisiert. Der Wöhlerlinie lassen sich also Angaben über Schwingspielzahlen entnehmen welche bis zum Auftreten eines Schwingbruches bei einer bestimmten Wechselbeanspruchung konstanter Schwingweit ertragen werden. Im folgenden Diagramm ist der Verlauf einer Wöhlerlinie in doppellogarithmischer Auftragung dargestellt. Die blaue Kurve entspricht einer Wöhlerkurve, die sich aus Versuchen ergibt. Die davon abgeleitete rote Kurve folgt aus Linearisierungen im Kurzzeitfestigkeitsbereich und im Bereich der Dauerfestigkeit.

Wöhler-Diagramm- Verlauf und Idealisierung - Unterteilung in Bereiche

Hierbei sind

  • RM die Zugfestigkeit,
  • SF die Formdehngrenze,
  • SD die Dauerfestigkeit und
  • NF und ND die entsprechenden Schwingspielzahlen.

Bei Beanspruchungen oberhalb der Dauerfestigkeit gilt für die zulässige Schwingspielzahl einer konstanten Spannungsamplitude: N = ND (S / SD)-k.

Zusätzliche Informationen, die für die Interpretation und Anwendung der Wöhlerlinie von Bedeutung sind:

  • Handelt es sich um Spannungsamplituden oder um Spannungsschwingbreiten?
  • Welche Überlebenswahrscheinlichkeit ist zugrunde gelegt?
  • Auf Basis welchen Spannungsverhältnisses wurde die Kurve erzeugt?

Synthetische Wöhlerlinien

Eine Alternative zur experimentellen Bestimmung der Wöhlerkurve ist die Berechnung synthetischer Wöhlerlinien. Diese werden unter Verwendung statischer Werkstoffkennwerte sowie von Belastungs- und Bauteilparametern (z.B. Spannungsverhältnis, Formzahl, Oberflächenrauheit) berechnet. Verschiedene Modelle liefern unter anderem Gudehus-Zenner [2], die FKM-Richtlinie [3], der Eurocode 3 [4] und die VDI-Richtlinie (für Ermüdung von Schrauben) [6]. Diese Modelle wurden durch umfangreiche statistische Auswertung von Wöhlerversuchen aus der Literatur gewonnen. Vorteile dieser Wöhlerlinien sind:

  • Es sind keine Versuche zur Ermittlung nötig (abgesehen von den statischen Kennwerten)
  • Durch den großen Umfang der ausgewerteten Versuche sind diese Wöhlerlinien statistisch sehr gut abgesichert
  • Die Verwendung dieser Wöhlerlinien eignet sich damit besonders gut für die Berechnung

In diese Wöhlerlinien geht meist eine Modifikation bezüglich der Überlebenswahrscheinlichkeit der Bauteile ein. Wie bereits erwähnt basieren die Wöhlerkurven oft auf einer Überlebenswahrscheinlichkeit von 50 %. Durch Verwendung entsprechender Abminderungsfaktoren, welche aus der statistischen Auswertung der Versuchsergebnisse stammen, wird die Wöhlerlinie vertikal verschoben. Somit wird meist eine Überlebenswahrscheinlichkeit von 95% oder höher zugrunde gelegt, um den Anforderungen eines Schwingfestigkeitsnachweises in Hinblick auf die Überlebenswahrscheinlichkeit zu genügen

Um Eigenspannungen in Schweißnähten zu berücksichtigen, wird in den Richtlinien und Normen bezüglich der Kerbfälle speziell auf die Spannungsverhältnisse bzw. Mittelspannungen Rücksicht genommen. Die Kerbfälle der IIW-Richtlinie [5] basieren auf einem Spannungsverhältnis von R = 0.5. Die Methoden weiterer Normen sind in der folgenden Tabelle beschrieben.

In den folgenden Diagrammen werden die Effekte unterschiedlicher Materialien, Beanspruchungsarten (Normal- oder Schubspannungen) und Spannungsverhältnisse auf den Verlauf der Wöhlerlinie dargestellt.

Zunächst werden Wöhlerlinien aus verschiedenen Richtlinien miteinander verglichen. Die Verläufe im Diagramm basieren auf folgenden Kennwerten:

k ΔSD
in MPa
ND PÜ
in %
Berücksichtigung der Eigenspannungen
Stahl (EC 3 [4]) 3 103 5·106 95 Mittelspannung > 0
Schraube Zugbelastung (FAT 50, EC 3 [4]) 3 37 5·106 95
Stahl, Eisenguss (FKM [3]) 5 144 1·106 95 Berechnung einer äquivalenten Schädigung bei R = -1, abhängig von Belastungsverhältnissen
Aluminium (FKM [3]) k1=5, k2=15 46 1·106 95
Stahl, Stumfpnaht längsbelastet (FKM [3]) 3 92 5·106 95
Schraube, schlussvergütet (M30, VDI [6]) 3 85 2·106 99 Keine Berücksichtigung
42CrMo4 (Gudehus, Zenner [2]) 7.5 217 4.7·106 97.7 R = -1
GJS 400 (Gudehus, Zenner [2]) 8.9* 127 2.6·106 97.7

Die Neigungen k der Wöhlerlinien liegen für scharf gekerbte Bauteile (Schrauben, Schweißnähte) durchweg bei 3. Dies ist dadurch verursacht, dass der Anriss relativ zügig erfolgt und sich diese Bauteile zu einem großen Anteil der Lebensdauer im Stadium des (Mikro)-Rissfortschritt befinden.

Weniger stark gekerbte Bauteile zeigen eine Neigung der Wöhlerlinie von ca. 5. Die Neigungen, die von Gudehus/Zenner [2] angegeben werden, sind nach heutigem Erkenntnisstand auf einen Fehler in der Auswertung zurückzuführen (siehe hierzu Haibach [1]).

Wöhlerkurve - synthetische Wöhlerlinien - inklusive der Vorgaben aus den verschiedenen Richtlinien und NormenDer Unterschied zwischen Wöhlerlinien für Normal- und Schubspannungen am Beispiel von ungekerbtem Baustahl (nach Eurocode 3 [4]) wird in der folgenden Abbildung deutlich. Die Schubspannungswöhlerlinien weisen geringere Dauerfestigkeiten auf. Generell ist zu erkennen, dass Bauteile empfindlicher auf Schwingungsbeanspruchung durch Schub reagieren als durch Normalspannungen.

Wöhlerkurve - Qualitativer Vergleich zwischen Normalspannungs-Wöhlerlinien und Schubspannungs-WöhlerlinienMit größer werdender Mittelspannung sinken die ertragbaren Spannungen und umgekehrt. Dieser Einfluss ist qualitativ auf der folgenden Abbildung zu erkennen.

Wöhlerkurve - Qualitative Darstellung des Mittelspannungseinflusses (Zug/Druck) auf den Verlauf der Wöhlerlinie

Bemessungswöhlerlinien

In den einschlägigen Maschinenbaurichtlinien sowie im Eurocode 3 (Stahlbau) [4] finden sich meist Bemessungswöhlerlinien mit abfallendem Verlauf im Dauerfestigkeitsbereich (auch für Materialien mit kubisch raumzentrierter Gitterstruktur). Dies wird aus Gründen der Schädigungsakkumulation eingeführt, da die Dauerfestigkeit bei Vorbelastung links des Abknickpunktes sinkt. In der Regel wird die Steigung rechts des Abknickpunktes mit k2 = 2 · k – 1 angegeben. Hierbei handelt es sich um keine richtige Wöhlerlinie mehr, sondern, wie bereits erwähnt, um eine Bemessungswöhlerlinie zur Ermüdungsberechnung unter mehrstufiger Wechselbeanspruchung (gegeben in Form von Markovmatrizen oder Mehrstufenkollektiven).

Anwendungsbeispiel

Das folgende Beispiel soll den Berechnungsvorgang beim Ermüdungsnachweis verdeutlichen.

Belastung

Ein quer verschweißter Blechstreifen (Blechdicke 10 mm, Breite 50 mm) wird längs mit einer Kraft von 50000 N schwellend (Fu = 0 N) für Nvorh = 2 · 105 Schwingspiele belastet.

Die Kraftschwingbreite beträgt also ΔF = 50000 N und die Spannungsschwingbreite ΔS = 100 MPa.

Widerstand

Nach Eurocode 3 (EN 1993-1-9) [4] gilt bei entsprechender Ausführung der Schweißnaht für diesen Sachverhalt die Kerbfallklasse 112 (auch FAT-Klasse genannt). Das Bauteil hat also eine ertragbare Schwingspielzahl von NC = 2·106 bei einer Spannungsschwingbreite von ΔSC = 112 MPa. Der Wöhlerexponent beträgt k = 3. Der Abknickpunkt liegt bei ND = 5·106 Schwingspielen.

Nachweis

Im ersten Schritt wird geprüft, ob die Belastung unterhalb der Dauerfestigkeit liegt. Die Dauerfestigkeit beträgt ΔSD = ΔSC · (ND / NC)-1/k = 82.5 MPa.

Die Belastung liegt oberhalb der Dauerfestigkeit. Der deshalb notwendige Nachweis wird im Zeitfestigkeitsbereich geführt.

Die für das Beispiel ertragbare Schwingspielzahl beträgt

Nertr = NC · (ΔS / ΔSC)k = 2.81 · 106.

Die bei Nvorh ertragbare Spannungsschwingbreite beträgt
ΔSertr = ΔSC · (Nvorh / NC)-1/k = 241.3 MPa.

Die Schädigung beträgt Nvorh / Nertr = 0.07. Das heißt, das Belastungskollektiv kann 14 mal ertragen werden.

Die Auslastung beträgt ΔS / ΔSertr = 0.41.

In der folgenden Abbildung sind die Spannungsschwingbreiten und die Schwingspelzahlen bezüglich der Wöhlerlinie dargestellt.

Wöhlerkurve - Anwendungsbeispiel - Umrechnung von der Kerbfallklasse (FAT) auf den Abknickpunkt der Wöhlerlinie

Quellenverzeichnis

[1] Haibach, E.: Betriebsfestigkeit: Verfahren und Daten zur Bauteilberechnung, 3., korrigierte und ergänzte Auflage, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2006

[2] Gudehus, H.; Zenner, H.: Leitfaden für eine Betriebsfestigkeitsrechnung: Empfehlung zur Lebensdauerabschätzung von Maschinenbauteilen, 4. Auflage, VBFEh (Hrsg.), Stahleisen-Verlag, 2008

[3] Forschungskuratorium Maschinenbau: Rechnerischer Festigkeitsnachweis für Maschinenbauteile, 6. überarbeitete Ausgabe. VDMA-Verlag, 2012

[4] DIN EN 1993-1-9:2010-12, Eurocode 3: Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten – Teil 1-9: Ermüdung; Deutsche Fassung EN 1993-1-9:2005 + AC:2009

[5] Hobbacher, A.: Recommendations for Fatigue Design of welded Joints and Components, IIW document IIW-1823-07, 2008

[6] VDI 2230 Blatt1: Systematische Berechnung hochbeanspruchter Schraubenverbindungen: Zylindrische Einschraubenverbindungen, Verein deutscher Ingenieure, 2015

Artikel veröffentlicht am 24.01.2020

Martin Lork
Andreas Hanke

Martin Lork
Dipl.-Ing. Maschinenbau
Autor  |  mlork@ing-hanke.de

Andreas Hanke
Dipl.-Ing. Maschinenbau
Co-Autor  |  ahanke@ing-hanke.de

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