Lastverteilung auf Gewindegängen von Schrauben unter elastischem sowie plastischem Materialverhalten

Tragen hauptsächlich die ersten drei Gewindegänge? Oder alle?

Die Meinung, dass die ersten Gewindegänge einer Schraube den Großteil der Last tragen, ist weit verbreitet. Dementgegen steht die Annahme der VDI-Richtlinie [1], dass zum Zeitpunkt des Abscherens der Gewindegänge eine gleichmäßige Kraftverteilung an den Gewindegängen vorherrscht.

Diese Widersprüche führen zu der Frage, welche der beiden Aussagen richtig ist.

Die Antwort: Beide

• Bei niedrigen Belastungen tragen überwiegend die ersten Gewindegänge
• Bei zunehmender Belastung ergibt sich eine zunehmend gleichmäßigere Verteilung, die durch das Plastifizieren der Gewindegänge verursacht wird

Lastverteilung bei elastischem Materialverhalten

Um die Aufteilung der Last auf die einzelnen Gewindegänge zu untersuchen, werden FE-Berechnungen durchgeführt. Das Materialverhalten wird dabei ideal elastisch-plastisch angenommen. Es werden zwei Varianten untersucht:

• Schraubenverbindung mit 5 Gewindegängen im Eingriff als Beispiel für eine Verbindung mit knapp bemessener Einschraubtiefe
• Schraubenverbindung mit 8 Gewindegängen im Eingriff mit ausreichend bemessener Einschraubtiefe

Details zum FE-Modell finden sich weiter unten.

Im elastischen Bereich tragen tatsächlich die ersten Gewindegänge deutlich mehr als die im Kraftfluss weiter entfernt liegenden. Die folgende Tabelle zeigt die Verteilung der von den Gewindegängen aufgenommenen Kräfte im Belastungsbereich bei linearem Materialverhalten.

Im Diagramm ist die Verteilung noch einmal visuell dargestellt.

Kraftverteilung auf den einzelnen Gewindegängen anhand zweier verschiedener Mutternmodelle, geringe Belastung

Dieses Verhalten deckt sich mit Veröffentlichungen, welche davon ausgehen, dass die ersten Gewindegänge den größten Anteil der Traglast übernehmen. In diesen meist analytischen Herleitungen der Kraftverteilung wird lineares Materialverhalten vorausgesetzt, wie z.B. hier [2].

Änderung der Lastverteilung auf den Gewindegängen durch Plastifizierung

Bei weiterer Erhöhung der Last kommt es zu plastischen Verformungen der höher beanspruchten Gewindegänge und somit zur Umlagerung von Kräften. Dieser Effekt tritt bereits bei Kräften auf, bei denen sich Nennspannungen (Axialkraft bezogen auf den Spannungsquerschnitt) im Bereich von 20 bis 30 % der Streckgrenze ergeben. Dies ist durch die Form der Gewindegänge verursacht, die scharfe Kerben darstellen. Durch die hohe Formzahl wird bereits bei sehr niedrigen Nennspannungen im Schraubenschaft die Streckgrenze lokal im Bereich der Gewindegänge überschritten. Diese Überschreitung führt zu Plastifizierungen im Gewindebereich und damit zu einer Umlagerung der Kräfte von den ersten auf die anderen Gewindegänge.

Am oberen Ende der Belastbarkeit ergibt sich folgende Verteilung:

Kraftverteilung auf den einzelnen Gewindegängen anhand zweier verschiedener Mutternmodelle, hohe Belastung

Besonders beim kürzeren Gewinde ist deutlich erkennbar, dass sich die Aufteilung der Axialkräfte über die Gewindegänge stark angeglichen hat. Das Gewinde steht kurz vor dem Versagen durch Abstreifen der Gewindegänge. Am längeren Gewinde ist die Verteilung nicht so gleichmäßig, weil der bevorstehende Versagensfall das Reißen des Bolzens ist. Hier ist also die Einschraubtiefe im Sinne des Maschinenbaus ausreichend dimensioniert: Die Schraube bricht vor dem Abstreifen des Gewindes. Dennoch gleichen sich auch hier die übernommenen Kräfte pro Gewindegang an.

Dieses Verhalten ist auch der Dimensionierung der Einschraubtiefe in der VDI-Richtlinie [1] zugrunde gelegt. Die Kerbwirkung der Gewindegänge resultiert in hohen Formzahlen und führt schon bei geringen Lasten zu hohen Spannungen im Kerbgrund. Bereits bei unkritischer Nennspannung treten plastische Dehnungen auf, welche dafür sorgen, dass sich die Kraftverteilung über die Gewindeflanken angleicht.

Auf den folgenden Abbildungen sind die Dehnungen in den Schrauben kurz vor dem Versagen dargestellt. Bei der kurzen Mutter (fünf Gewindegänge im Eingriff) sind die Gewindegänge kurz vor dem Abstreifen. Es zeigen sich bei allen im Eingriff befindlichen Gewindegängen hohe Dehnungen. Der Schraubenquerschnitt hingegen zeigt keine plastischen Dehnungen.

Anders verhält sich das Modell mit acht im Eingriff befindlichen Gewindegängen. Die hinteren Gewindegänge zeigen noch keine plastischen Dehnungen. Der Schraubenschaft zeigt sehr hohe Dehnungen (bereits voll durchplastifiziert) und steht kurz vor dem Versagen durch Bruch der Schraube unterhalb des ersten im Eingriff befindlichen Gewindeganges.

Plastische Dehnungen in den Schrauben kurz vor dem Versagen – fünf Gewindegänge im Eingriff

Plastische Dehnungen in den Schrauben kurz vor dem Versagen – acht Gewindegänge

Auf den folgenden Diagrammen ist die Verteilung der Axialkräfte an den einzelnen Gewindegängen im Zuge der Belastungserhöhung aufgetragen.

Verlauf der Kraftübertragung der Gewindegänge über der Belastung – fünf Gewindegänge im Eingriff

Verlauf der Kraftübertragung der Gewindegänge über der Belastung – acht Gewindegänge im Eingriff

Modellierung der Schraube im FE-Modell

Die dargestellten Ergebnisse basieren auf einem 2D-Berechungsmodell, welches die Rotationssymmetrie bezüglich der Schraubenmittelachse berücksichtigt. Dadurch ergeben sich ring- statt helixförmig angeordnete Gewindegänge. Die Abmaße basieren auf Gewinde der Größe M36.

Die Mutter wird geometrisch mit acht Gewindegängen modelliert. Für die Berechnung mit fünf tragenden Gewindegängen werden drei der Kontakte entfernt, so dass der in Kraftrichtung erste und die beiden letzten Gewindegänge der Schraube nicht vom Gewinde der Mutter gehalten werden.

Die Kräfte werden zunächst in 10% Schritten gesteigert, wobei 100% Belastung die Kraft repräsentiert, bei der die Nennspannung in der Schraube der Streckgrenze (940 MPa, Festigkeitsklasse 10.9) entspricht. Nach Erreichen von 90% der Nennstreckgrenze wird die Last in 2% Schritten bis zum Versagen gesteigert. Die Belastungsschritte sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst.

Während beim Modell mit acht Gewindegängen alle Lastschritte berechnet werden, konvergiert das Modell mit fünf Gewindegängen – verursacht durch das Abstreifen der Gewindegänge – nur bis zu einer Kraft entsprechend 96,6% der Nennstreckgrenze.

Die folgenden Abbildungen zeigen das Netz, die Kontaktdefinition und die Randbedingungen am FE-Modell.

FE-Modell – Vernetzung

FE-Modell – Kontaktdefinition am Modell mit fünf im Eingriff befindlichen Gewindegängen

FE-Modell – Lagerung und Lasteinleitung

Quellenverzeichnis

[1] VDI 2230 Blatt1: Systematische Berechnung hochbeanspruchter Schraubenverbindungen: Zylindrische Einschraubenverbindungen, Verein deutscher Ingenieure, 2015

[2] https://www.jbladt.de/

Artikel veröffentlicht am 14.02.2020

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